Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-2x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若存在x∈[

1

2

，2]使不等式f（x）＜mx成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令f′（x）=0，解得x=ln2，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為求m＞(

ex-2x

x

)的最小值．令g(x)=

ex

x

-2，通過求導(dǎo)得到函數(shù)g（x）的最小值，從而求出m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x-2，
令f′（x）=0，即e^x-2=0，解得x=ln2，
x∈（-∞，ln2）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（ln2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，ln2），單調(diào)遞增區(qū)間為（ln2，+∞）．
（Ⅱ）由題意知?x∈[

1

2

 ， 2]使f（x）＜mx成立，
即?x∈[

1

2

 ， 2]使m＞

ex-2x

x

成立；             
所以m＞(

ex-2x

x

)的最小值．
令g(x)=

ex

x

-2，g′(x)=

(x-1)ex

x2

，
所以g（x）在[

1

2

 ， 1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，
則g（x）_min=g（1）=e-2，所以m∈（e-2，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．