Question

素材1：設(shè)拋物線(xiàn)y²=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F,AB過(guò)焦點(diǎn)F且不垂直于x軸;

素材2：線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)l交x軸于N點(diǎn).

試根據(jù)上述素材構(gòu)建一個(gè)問(wèn)題，然后再解答.

Answer 1

構(gòu)建問(wèn)題：拋物線(xiàn)y²=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，AB是過(guò)焦點(diǎn)F，且不垂直于x軸的一條弦，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)l交x軸于點(diǎn)N,試證明|AB|=2|FN|.

證明：設(shè)點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)，分別過(guò)A、B、M作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為C、D、E.

∵AB為焦點(diǎn)弦，據(jù)拋物線(xiàn)定義及梯形的中位線(xiàn)性質(zhì)，有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|ME|.

要證|AB|=2|FN|，只要證|ME|=|FN|.

又EM∥FN，

∴只要證EF∥MN，即可得四邊形EFNM為平行四邊形，從而有|EM|=|FN|.∵M(jìn)N⊥AB,下證EF⊥AB.

設(shè)點(diǎn)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、M(x₀,y₀),則y₁+y₂=2y₀.

∵y₁²=2px₁,y₂²=2px₂,兩式相減，得y₁²-y₂²=2p(x₁-x₂),∴,即k_AB=.

又點(diǎn)E（-,y₀）、F(,0),∴k_EF=.

∴k_AB·k_EF==-1.

∴AB⊥EF成立.

綜上分析，|AB|=2|FN|.