Question

已知函數(shù)y=f（x），x∈R，有下列4個(gè)命題：
①若f（1+2x）=f（1-2x），則y=f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)；
②y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)；
③若y=f（x）為偶函數(shù)，且y=f（2+x）=-f（x），則y=f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)；
④若y=f（x）為奇函數(shù)，且f（x）=f（-x-2），則y=f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

C
分析：①先用換元法將f（1+2x）=f（1-2x）轉(zhuǎn)化，再由轉(zhuǎn)化后的形式判斷對(duì)稱(chēng)軸的方程．
②y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)可轉(zhuǎn)化為證明y=f（x）與y=f（-x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=0對(duì)稱(chēng)的問(wèn)題，再結(jié)合圖象的平移知識(shí)進(jìn)行判斷．
③用-x換x，由題設(shè)條件和偶函數(shù)的性質(zhì)得，f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x），故f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)．
④用-x換x，由題設(shè)條件和奇函數(shù)的性質(zhì)得，f（-x）=f（x-2），故y=f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-1對(duì)稱(chēng)．
解答：①令t=1+2x，可得2x=t-1，代入f（1+2x）=f（1-2x）得f（t ）=f（2-t）
由于|t-1|=|2-t-1|，故可知函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)
即y=f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，故①是真命題．
②由題設(shè)知y=f（2-x）=f[-（x-2）]
由于函數(shù)y=f（x）與y=f（-x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=0對(duì)稱(chēng)，
又y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象可由函數(shù)y=f（x）與y=f（-x）的圖象右移動(dòng)2個(gè)單位而得到，
∴y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)，故②是真命題．
③f（x）為偶函數(shù)，且f（2+x）=-f（x），用-x換x得，f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x）
∴f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)，故③是真命題．
④∵y=f（x）為奇函數(shù)，且f（x）=f（-x-2），用-x換x得，f（-x）=f（x-2），
∴y=f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-1對(duì)稱(chēng)，故④是假命題．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、平移變換、奇偶性的合理運(yùn)用．