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已知函數f(x)=ax3+bx2+2x在x=-1處取得極值,且在點(1,f(1))處的切線的斜率為2.
(Ⅰ)求a,b的值:
(Ⅱ)若關于x的方程f(x)+x3-2x2-x+m=0在[
12
,2]上恰有兩個不相等的實數根,求實數m的取值范圍.
分析:(I)根據已知中函數f(x)=ax3+bx2+2x在x=-1處取得極值,且在點(1,f(1)處的切線的斜率為2.我們易得f'(-1)=0,f'(1)=2,由此構造關于a,b的方程,解方程即可得到答案.
(II)根據(I)的結論我們易化簡關于x的方程f(x)+x3-2x2-x+m=0,構造函數g(x)=
2
3
x3-
3
2
x2+x+m
分析函數的單調性后,我們可將關于x的方程f(x)+x3-2x2-x+m=0在[
1
2
,2]上恰有兩個不相等的實數根,轉化為不等式問題,解關于m的不等式組,即可求出實數m的取值范圍.
解答:解:(I)∵函數f(x)=ax3+bx2+2x在x=-1處取得極值,
∴f'(-1)=3a-2b+2=0
又∵在點(1,f(1)處的切線的斜率為2.
f'(1)=3a+2b+2=2
解得a=-
1
3
,b=
1
2

0在(1,2)內有根.(6分)
(II)由(I)得方程f(x)+x3-2x2-x+m=0可化為:
2
3
x3-
3
2
x2+x+m=0

令g(x)=
2
3
x3-
3
2
x2+x+m

則g'(x)=2x2-3x+1
∵當x∈[
1
2
,2]時,g'(x)≤0
故g(x)=
2
3
x3-
3
2
x2+x+m
在[
1
2
,1]上單調遞減,在[1,2]上單調遞增,
若關于x的方程f(x)+x3-2x2-x+m=0在[
1
2
,2]上恰有兩個不相等的實數根,
g(
1
2
)≥0
g(2)≥0
g(1)<0

解得:-
5
24
≤m<-
1
6
點評:本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件,利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點的切線方程,其中根據已知構造關于a,b的方程,解方程求出函數的解析式,是解答本題的關鍵.
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1
4
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