已知拋物線(xiàn)y=x2,動(dòng)弦AB的長(zhǎng)為2,求AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值。
解法一:設(shè)拋物線(xiàn)y=x2的弦AB的端點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),中點(diǎn)M(x,y),拋物線(xiàn)y=x2的焦點(diǎn)F(0, ∴2|MN|=|AD|+|BC|,且|MN|=y+ 根據(jù)拋物線(xiàn)定義,有 |AD|=|AF|,|BC|=|BF| ∴2(y+ ∵在△ABF中,|AF|+|BF|≥|AB|=2 ∴2(y+ ∴y≥ 即M點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為 解法二:設(shè)拋物線(xiàn)y=x2上點(diǎn)A(a,a2)、B(b,b2),AB中點(diǎn)M(x,y) ∴x= ∵|AB|=2 ∴(a-b)2+(a2-b2)2=4 則(a+b)2-4ab+(a2+b2)2-4a2b2=4 由2x=a+b,2y =a2+b2,得ab=2x2-y ∴4x2-4(2x2-y)+4y2-4(2x2-y)2=4 整理得 y=x2+ ∴y= ≥2 =1- 當(dāng)且僅當(dāng) ∴AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為 |
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A、3 | ||
B、4 | ||
C、3
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D、4
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1 | 2 |
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A、(-∞,-3] | B、[1,+∞) | C、[-3,1] | D、(-∞,-3]∪[1,+∞) |
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