Question

已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)P（4，），A為上頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)．點(diǎn)Q（0，t）是線段OA（除端點(diǎn)外）上的一個動點(diǎn)，過Q作平行于x軸的直線交直線AP于點(diǎn)M，以QM為直徑的圓的圓心為N．
（1）求橢圓方程；
（2）若圓N與x軸相切，求圓N的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)R為圓N上的動點(diǎn)，點(diǎn)R到直線PF的最大距離為d，求d的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵e=，不妨設(shè)c=3k，a=5k，則b=4k，其中k＞0，故橢圓方程為，
∵P（4，）在橢圓上，∴+=1，解得k=1，
∴橢圓方程為+=1；
（2）K_AP==-，則直線AP的方程為y=-x+4，
令y=t（0＜t＜4），則x=（4-t），∴M（，t），∵Q（0，t）∴N（，t），
∵圓N與x軸相切，∴=t，由題意M為第一象限的點(diǎn)，則由=t，解得t=，
∴N（，），
∴圓N的方程為=；
（3）F（3，0），k_AP=，∴直線PF的方程為y=（x-3），即12x-5y-36=0，
∴點(diǎn)N到直線PF的距離為==，
∴d=+（4-t），∵0＜t＜4，
∴當(dāng)0＜t≤時(shí)，d==，此時(shí)，
當(dāng)＜t＜4時(shí)，d=（5t-6）+（4-t）=，此時(shí)，
∴綜上，d的取值范圍為[，）．
分析：（1）由e=，不妨設(shè)c=3k，a=5k，則b=4k，其中k＞0，從而可得橢圓方程，把點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程即可求得k值，進(jìn)而得橢圓方程；
（2）由點(diǎn)斜式可得直線AP的方程為y=-x+4，通過解方程可得M，N坐標(biāo)，圓N與x軸相切可得半徑為t，從而可求得t值，進(jìn)而可求得圓N方程；
（3）點(diǎn)R到直線PF的最大距離為d等于圓心N到直線PF的距離加上半徑，根據(jù)d的表達(dá)式分類討論即可求得其范圍；
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，熟練求解直線方程、熟記點(diǎn)到直線的距離公式等是解決相關(guān)問題的基礎(chǔ)．