Question

1．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），若過其右焦點F作傾斜角為45°的直線l與雙曲線右支有兩個不同的交點，則雙曲線的離心率的范圍是（1，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 要使直線與雙曲線有兩個交點，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即$\frac{a}$＜tan45°=1，求得a和b的不等式關系，進而轉化成a和c的不等式關系，求得離心率的一個范圍，最后根據雙曲線的離心率大于1，綜合可得求得e的范圍．

解答 解：要使直線與雙曲線有兩個交點，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，
即$\frac{a}$＜tan45°=1，即b＜a
∴$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$＜a，
整理得c＜$\sqrt{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$＜$\sqrt{2}$，
∵雙曲線中e＞1，
∴e的范圍是（1，$\sqrt{2}$）
故答案為（1，$\sqrt{2}$）．

點評 本題以雙曲線為載體，考查了雙曲線的簡單性質．在求離心率的范圍時，注意雙曲線的離心率大于1．