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12.我國古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題:“今有金箠,長五尺,斬本一尺,重四斤.斬末一尺,重二斤.問次一尺各重幾何?”意思是:“現(xiàn)有一根金杖,長5尺,一頭粗,一頭細.在粗的一端截下1尺,重4斤;在細的一端截下1尺,重2斤;問依次每一尺各重多少斤?”設該金杖由粗到細是均勻變化的,其重量為M,現(xiàn)將該金杖截成長度相等的10段,記第i段的重量為ai(i=1,2,…,10),且a1<a2<…<a10,若48ai=5M,則i=6.

分析 由題意知由細到粗每段的重量成等差數(shù)列,記為{an}且設公差為d,由條件和等差數(shù)列的通項公式列出方程組,求出a1和d值,由等差數(shù)列的前n項和公式求出該金杖的總重量M,代入已知的式子化簡求出i的值.

解答 解:由題意知由細到粗每段的重量成等差數(shù)列,
記為{an},設公差為d,
{a1+a2=2a9+a10=4,解得a1=1516,d=18,
所以該金杖的總重量M=10×1516+10×92×18=15,
因為48ai=5M,所以48[1516+(i-1)×18]=25,
即39+6i=75,解得i=6,
故答案為:6.

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式的實際應用,以及方程思想,考查化簡、計算能力.

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