Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，O是AC與BD的交點，E為BB₁的中點．
（Ⅰ）求證：直線B₁D∥平面AEC；
（Ⅱ）求證：B₁D⊥平面D₁AC；
（Ⅲ）求三棱錐D-D₁OC的體積．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線性質(zhì)，線面平行的判定定理．
（2）利用線面垂直的判定定理證明AC⊥面BDB₁，從而證明AC⊥B₁D，同理可證B₁D⊥AD₁，進而可證；
（3）等體積法求三棱錐的體積，三棱錐D-D₁OC與三棱錐D₁-DOC的體積相等，D₁-DOC的高是D₁D的長，面積等于底面正方形面積的

1

4

，體積可求．

解答：解：
（Ⅰ）連接OE，在△B₁BD中，
∵E為BB₁的中點，O為BD的中點，
∴OE∥B₁D
又∵B₁D?平面AEC
∴直線B₁D∥平面AEC．（4分）

（Ⅱ）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵B₁B⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴B₁B⊥AC．∵BD⊥AC
且BB₁∩BD=B
∴B₁D⊥AC
∴AC⊥B₁D
同理可證B₁D⊥AD₁
∵AC∩AD₁=A
∴B₁D⊥平面D₁AC．（9分）
（Ⅲ）VD-D1OC=VD1-DOC=

1

3

•DD1•S△DOC=

1

3

×2×1=

2

3

．（14分）

點評：本題考查線面平行、垂直的判定方法．