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精英家教網如圖,已知在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E,F分別是線段AB,BC的中點.
(1)證明:PF⊥FD;
(2)判斷并說明PA上是否存在點G,使得EG∥平面PFD.
分析:(1)連接AF,由勾股定理可得DF⊥AF,由PA⊥平面ABCD,由線面垂直性質定理可得DF⊥PA,再由線面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF,再由線面垂直的性質定理得到PF⊥FD;
(2)過點E作EH∥FD交AD于點H,則EH∥平面PFD,且有AH=
1
4
AD,再過點H作HG∥DP交PA于點G,則HG∥平面PFD且AG=AP,由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD,進而由面面平行的性質得到EG∥平面PFD.從而確定G點位置;
解答:解:(1)連接AF,∵底面ABCD是矩形,AD=2,AB=1,F分別是線段BC的中點,
∴AF=DF=
2

∴AF2+DF2=AD2,∴AF⊥DF,
又PA⊥平面ABCD,DF?平面ABCD,∴PA⊥DF,
又PA∩AF=A,∴DF⊥平面PAF,PF?平面PAF,
∴PF⊥FD;
(2)取AD的中點O,連接OB,
則OB∥FD,過點E作EH∥FD交AD于點H,
則EH∥平面PFD,
∵E為AB的中點,
∴AH=
1
4
AD,再過點H作HG∥DP交PA于點G,則HG∥平面PFD且AG=
1
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AP,
又GH∩EH=H,∴平面GEH∥平面PFD,
∵EG?平面GEH,
∴EG∥平面PFD.從而確定G點位置;
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點評:本題考查了線面垂直的判定與性質,考查了面面平行的判定與性質及線面平行的判定,解答本題的關鍵是作出平面PFD的平行平面.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分別是AB、PD的中點.
(Ⅰ)求證:AF∥平面PEC;
(Ⅱ)若PD與平面ABCD所成角為60°,且AD=2,AB=4,求點A到平面PED的距離.

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如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E、F分別是AB、PD的中點.
(1)求證:AF∥平面PEC;
(2)設CD的中點為H,求證:平面EFH∥平面PBC;
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π2
),則四棱錐P-ABCD的體積V的取值范圍是( �。�

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(2012•貴州模擬)如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,F是PD的中點,E是線段AB上的點.
(Ⅰ)當E是AB的中點時,求證:AF∥平面PEC;
(Ⅱ)要使二面角P-EC-D的大小為45°,試確定E點的位置.

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如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F,G分別是PD,PC,BC的中點.
(1)求證:平面EFG⊥平面PAD;
(2)若M是線段CD上一點,求三棱錐M-EFG的體積.

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