Question

19．已知函數(shù)f （x）及其導數(shù)f′（x），若存在x₀，使得f （x₀）=f′（x₀），則稱x₀是f （x）的一個“巧值點”，下列函數(shù)中，存在“巧值點”的是①②③⑤．（填上所有正確的序號）
①f （x）=x²，
②f（x）=sinx，
③f （x）=lnx，
④f （x）=tanx，
⑤f（x）=x+$\frac{1}{x}$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，使f（x）=f′（x），如果有解，則存在存在“巧值點”．

解答 解：對于①中的函數(shù)f（x）=x²，f'（x）=2x．要使f（x）=f′（x），則x²=2x，
解得x=0或2，∴函數(shù)有巧值點，故①正確；
對于②中的函數(shù)，f（x）=sinx，f′（x）=cosx，要使f（x）=f′（x），則sinx=cosx，
解得x=45°+k•360°，k∈Z或x=225°+k•360°，k∈Z，∴函數(shù)有巧值點，故②正確；
對于③中的函數(shù)，f （x）=lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$，要使f（x）=f′（x），則lnx=$\frac{1}{x}$，
由函數(shù)f（x）=lnx與y=$\frac{1}{x}$的圖象它們有交點，因此方程有解，∴函數(shù)有巧值點，故③正確；
對于④中的函數(shù)，f （x）=tanx，${f}^{'}（x）=\frac{1}{co{s}^{2}x}$，要使f（x）=f′（x），
則tanx=$\frac{1}{co{x}^{2}x}$，即sinxcosx=1，即sin2x=2，無解，∴原函數(shù)沒有巧值點，故④錯誤；
對于⑤中的函數(shù)，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，${f}^{'}（x）=1-\frac{1}{{x}^{2}}$，要使f（x）=f′（x），
則x+$\frac{1}{x}$=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，即x³-x²+x+1=0，
設函數(shù)g（x）=x³-x²+x+1，g'（x）=3x²+2x+1＞0且g（-1）＜0，g（0）＞0，
∴函數(shù)g（x）在（-1，0）上有零點，原函數(shù)有巧值點，故⑤正確．
故答案為：①②③⑤．

點評 本題考查函數(shù)是否存在“巧值點”的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．