Question

已知a₁=b₁=1，a_n+1=b_n+n，b_n+1=a_n+（-1）ⁿ，n∈N^*．
（1）求a₃，a₅的值；
（2）求通項公式a_n；
（3）求證：

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)a_n+1=b_n+n，b_n+1=a_n+（-1）ⁿ，可知a₃=a₁+1，a₅=a₃+3求得答案．
（2）分別看數(shù)列項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時，利用疊加法求得通項公式a_n；
（3）分別看n為奇數(shù)和偶數(shù)時，把（2）中求得的通項公式代入中，利用裂項法證明原式．
解答：解：（1）b₂=a₁-1=0，∴a₃=b₂+2=2，a₅=a₃+3=5；
（2）由題意，a₃=a₁+1，a₅=a₃+3，，a_2n-1=a_2n-3+（2n-3），
∴；
同理，a_2n=n²+n，∴；
（3）當(dāng)n≥3時，，
而，∴

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項公式和求和問題．考查了學(xué)生數(shù)列問題的綜合把握．