如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B⊥底面ABC,側(cè)棱AA1與底面ABC成60°的 角,AA1=2.底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,其重心為G點(diǎn),E是線段BC1上一點(diǎn),且BE=3BC1.
(1)求證:GE∥側(cè)面AA1B1B;
(2)求平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的正切值;
(3)求點(diǎn)B到平面B1GE的距離.
(1)詳見解析;(2);(3)
解析試題分析:(1)證明直線和平面平行的方法一般有兩種,其一是利用線面平行的判定定理,在平面內(nèi)找一條直線和平面外的直線平行,其二是利用面面平行的性質(zhì)定理,先證明面面平行,其次說明線和面平行,延長(zhǎng)交
于點(diǎn)
,則
是中點(diǎn),所以
三點(diǎn)共線,根據(jù)線段成比例,可證明
∥
,從而可證明GE∥側(cè)面AA1B1B;(2)以
為坐標(biāo)原點(diǎn),
的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6f/4/1ugtv4.png" style="vertical-align:middle;" />軸,建立坐標(biāo)系,再求半平面的法向量,再求其夾角,進(jìn)而可得二面角的余弦值,再轉(zhuǎn)換為正切值;(3)點(diǎn)到面的距離是點(diǎn)到平面垂線段的長(zhǎng)度,如果垂足不好確定,可考慮等體積轉(zhuǎn)換,點(diǎn)
到面
的距離就是點(diǎn)
到面
的距離,設(shè)為
,利用
,可求
.
試題解析:(1)延長(zhǎng)B1E交BC于點(diǎn)F,∽△FEB,BE=
EC1,∴BF=
B1C1=
BC, 從而點(diǎn)F為BC的中點(diǎn),∵G為△ABC的重心,∴A、G、F三點(diǎn)共線.且
, 又GE
側(cè)面AA1B1B,∴GE//側(cè)面AA1B1B;
(2)取中點(diǎn)
,則
面
,以
為坐標(biāo)原點(diǎn),
的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6f/4/1ugtv4.png" style="vertical-align:middle;" />軸,建立坐標(biāo)系,則
,
,
,
,
,
. ∵G為△ABC的重心,
∴.
,∴
, 設(shè)平面B1GE的法向量為
,則由
得
可取
又底面ABC的一個(gè)法向量為
, 設(shè)平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大小為
,則
,由于
為銳角,所以
,進(jìn)而
, 故平面B1GE與底面ABC成銳二面角的正切值為
;
(3)由題意點(diǎn)到面
的距離就是點(diǎn)
到面
的距離,設(shè)為
,易求得
,
,又
,∴
,
,
考點(diǎn):1、直線和平面平行的判定;2、二面角的求法;3、點(diǎn)到面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知四棱錐中,底面
是直角梯形,
,
,
,
,
平面
,
.
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)求證:平面
;
(Ⅲ)若是
的中點(diǎn),求三棱錐
的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知中,
,
,
為
的中點(diǎn),
分別在線段
上的動(dòng)點(diǎn),且
,
交
于
,把
沿
折起,如下圖所示,
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)當(dāng)二面角為直二面角時(shí),是否存在點(diǎn)
,使得直線
與平面
所成的角為
,若存在求
的長(zhǎng),若不存在說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四棱錐中,面
面
,底面
是直角梯形,側(cè)面
是等腰直角三角形.且
∥
,
,
,
.
(1)判斷與
的位置關(guān)系;
(2)求三棱錐的體積;
(3)若點(diǎn)是線段
上一點(diǎn),當(dāng)
//平面
時(shí),求
的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在斜三棱柱中,側(cè)面
⊥底面
,側(cè)棱
與底面
成
的角,
.底面
是邊長(zhǎng)為2的正三角形,其重心為
點(diǎn),
是線段
上一點(diǎn),且
.
(Ⅰ)求證://側(cè)面
;
(Ⅱ)求平面與底面
所成銳二面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,若PA=AB=BC=,AD=1.
(I)求證:CD⊥平面PAC;
(II)求二面角A-PD-C的余弦值.
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