【題目】太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相互統(tǒng)一的和諧美.定義：能夠?qū)A的周長和面積同時等分成兩部分的函數(shù)稱為圓的一個“太極函數(shù)”.下列有關(guān)說法中正確的個數(shù)是（ ）個

①對圓的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，一定不能為偶函數(shù)；

②函數(shù)是圓的一個太極函數(shù)；

③存在圓，使得是圓的太極函數(shù)；

④直線所對應(yīng)的函數(shù)一定是圓的太極函數(shù).

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

利用“太極函數(shù)”的定義逐個判斷函數(shù)是否滿足新定義即可.

對于①，如下圖所示，若太極函數(shù)為偶函數(shù)，該函數(shù)平分圓的周長和面積，①錯誤；

對于②，函數(shù)的圖象是過圓圓心的一條直線，平分圓的周長和面積，②正確；

對于③，，定義域為，關(guān)于原點對稱.

，該函數(shù)為奇函數(shù).

當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.

當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.

函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，有三條漸近線，.

可知函數(shù)的對稱中心為間斷點，故不存在圓使得函數(shù)滿足題干條件，③錯誤；

對于④，對于直線的方程，變形為，

令，得，直線經(jīng)過圓的圓心，可以平分圓周長和面積，④正確.

因此，真命題的序號為②④.

故選：B.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知圓，圓過點且與圓相切，設(shè)圓心的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）點，為曲線上的兩點（不與點重合），記直線的斜率分別為，若，請判斷直線是否過定點. 若過定點，求該定點坐標(biāo)，若不過定點，請說明理由．

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【題目】已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于兩點，且.

(1)求該拋物線的方程；

(2) 為坐標(biāo)原點，為拋物線上一點，若，求的值．

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【題目】如圖，長方體中，，，、、分別是、、的中點，則異面直線與所成角的正弦值是( )

A. B. C. 1 D. 0

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（1）若時，求函數(shù)的最小值；

（2）若，證明：函數(shù)有且只有一個零點；

（3）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖，已知四棱錐P－ABCD，底面ABCD為菱形，且∠DAB＝60°，△PAB是邊長為a的正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，已知點M是PD的中點．

(1)證明：PB∥平面AMC；

(2)求直線BD與平面AMC所成角的正弦值．

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【題目】已知函數(shù)（且）．

（1）函數(shù)是否過定點？若是求出該定點，若不是，說明理由．

（2）將函數(shù)的圖象向下平移個單位，再向左平移個單位后得到函數(shù)，設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，求的解析式；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若函數(shù)過點，且設(shè)函數(shù)的定義域為，若在其定義域內(nèi)，不等式恒成立，求的取值范圍．

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【題目】先后擲一顆質(zhì)地均勻的骰子（骰子的六個面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6）兩次，落在水平桌面上后，記正面朝上的點數(shù)分別為，記事件為“為偶數(shù)”，事件為“中有偶數(shù)且”，則概率（ ）

A. B. C. D.

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【題目】對于定義域為的函數(shù)，若同時滿足下列條件：

①在內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；

②存在區(qū)間，使在上的值域為；那么把（）叫閉函數(shù).

（1）求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間；

（2）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說明理由；

（3）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？若是閉函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

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