Question

定義域為R的偶函數(shù)f(x)，當x＞0時，f(x)=lnx-ax(a∈R)．若方程f(x)=0恰有5個不同的實數(shù)解，求a的取值范圍，并求出函數(shù)f(x)的解析式．

Answer 1

解：因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)=0的5個解中必有一解在丁軸上，且當x＞0時f(x)圖像與x軸恰有兩個不同的交點．

下面研究x＞0時的情況．

當a＜0時，f(x)=lnx-ax為單調(diào)增函數(shù)，

當x→0，f(x)→-∞，當x→+∞，f(x)→+∞

所以f(x)與x軸僅有一個交點；

當a=0時，f(x)=lnx與x軸僅有一個交點．

所以必須滿足a＞0．

F′(x)=-a，令f′(x)=0，得x=

當0＜x＜時，f′(x)＞0，f(x)單增，

當x＞時，f′(x)＜0，f(x)單減，

f(x)在x=處取到極大值-lna-1.

又當x→0時，f(x)→-∞，

當x→+∞，f(x)→-∞，

要使x＞0時，f(x)與x軸有兩個交點當且僅當-lna-1＞0

解得0＜a＜  

設(shè)x＜0，-x＞0，f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax

∴f(x)=