Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=-2x³+bx²+cx（b，c∈R），函數(shù)F（x）=f（x）-3x²是奇函數(shù)，函數(shù)f（x）在x=-1處取極值．
求（I）b的值；
（II）函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值．

Answer 1

解：（I）∵函數(shù)F（x）=f（x）-3x²是一個(gè)奇函數(shù)，
∴F（-x）=-F（x），化簡計(jì)算得∴b=3；（4分）
（II）∵函數(shù)f（x）在x=1處取極大值，
∴f′（-1）=0（5分）f（x）=-2x³+3x²+cx，f′（x）=-6x²+6x+c（6分）
∴f（-1）=-6-6+c=0，c=12（8分）
∴f（x）=-2x³+3x²+12x，f′（x）=-6x²+6x+12=-6（x²-x-2）
令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=2，（9分）
列表
（11分）
∴當(dāng)x=-3時(shí)，f（x）_max=45．（13分）
分析：（I）由函數(shù)F（x）=f（x）-3x²是一個(gè)奇函數(shù)，得到F（-x）=-F（x）構(gòu)建關(guān)于b的方程求解．
（II）由函數(shù)f（x）在x=1處取極大值，可得隴望蜀f′（-1）=0和f（-1）=-6-6+c=0，從而得到了f（x）=-2x³+3x²+12x，再導(dǎo)數(shù)求得最值．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和導(dǎo)數(shù)法來求函數(shù)的最值．