Question

已知f（x）=3sin2x+acos2x，其中a為常數(shù)．f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

6

對稱，則f（x）在以下區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)的是（　�。�

• A、[-

  3

  5

  π，-

  1

  6

  π]
• B、[-

  7

  12

  π，-

  1

  3

  π]
• C、[-

  1

  6

  π，

  1

  3

  π]
• D、[0，

  1

  2

  π]

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：先將函數(shù)y=sin2x+acos2x利用輔角公式化簡，然后根據(jù)正弦函數(shù)在對稱軸上取最值可得f（x）=2

3

sin（2x+

π

6

），根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答： 解：由題意知：y=3sin2x+acos2x=

9+a2

sin（2x+φ），
當(dāng)x=

π

6

時函數(shù)y=3sin2x+acos2x取到最值±

9+a2

，
將x=

π

6

代入可得：3sin（2×

π

6

）+acos（2×

π

6

）=

3 3 +a

2

=±

9+a2

，
解得：a=

3

，
故f（x）=3sin2x+

3

cos2x=2

3

sin（2x+

π

6

），
由于[-

7

12

π，-

1

3

π]∈[-

5π

6

，-

π

3

]，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可知函數(shù)在[-

7

12

π，-

1

3

π]上是單調(diào)遞減的，
故選：B．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的輔角公式和正弦函數(shù)的對稱性問題，考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．