選做題：不等式選講
（1）已知實數(shù)m＞0，n＞0，求證：
a2
m
+
b2
n
≥
(a+b)2
m+n
；
（2）利用（1）的結(jié)論，求函數(shù)y=
1
x
+
4
1-x
（其中x∈（0，1））的最小值．
分析：（1）由已知條件，把要證的不等式的左邊減去右邊通分化簡為
(na-mb)2
mn(m+n)
，顯然此值大于0，故不等式成立．
（2）把函數(shù)解析式化為
12
x
+
22
1-x
，利用（1）的結(jié)論，可得它大于或等于
(1+2)2
x+1-x
=9，由此得出結(jié)論．
解答：證明：（1）∵m＞0 且n＞0，
a2
m
+
b2
n
-
(a+b)2
m+n
=
na2+mb2
mn
-
(a+b)2
m+n

=
(m+n)(na2+mb2)-mn(a+b)2
mn(m+n)
=
(na-mb)2
mn(m+n)
≥0，…（4分）
所以
a2
m
+
b2
n
≥
(a+b)2
m+n
當且僅當na=mb時等號成立．…（6分）
（2）∵x∈（0，1），∴1-x＞0，
∴y=
1
x
+
4
1-x
=
12
x
+
22
1-x
 ≥
(1+2)2
x+1-x
=9…(8分) 
由（1-x）•1=x•2，可得x=
1
3
∈(0，1)，
故當x=
1
3
時，函數(shù)可得最小值 9．  …（10分）
點評：本題主要考查用綜合法證明不等式，基本不等式的應(yīng)用，式子的變形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標系中，定點A（2，π），動點B在直線ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
上運動，則線段AB的最精英家教網(wǎng)短長度為
 

（不等式選講選做題）設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|，則f（x）的最小值為
 

（幾何證明選講選做題） 如圖所示，等腰三角形ABC的底邊AC長為6，其外接圓的半徑長為5，則三角形ABC的面積是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選做題
A不等式選講
已知a∈R，若關(guān)于x的方程x2+x+|a-
1
4
|+|a|=0有實根，求a的取值．
B坐標系與參數(shù)方程
已知曲線C1、C2的極坐標方程分別為ρcosθ=3，ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ＜
π
2
，求曲線C1、C2交點的極坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選做題：不等式選講．
已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：
a+b
2
-
ab
a+b+c
3
-
3abc
≤
3
2
，并指出等號成立的條件．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•渭南三模）選做題（請考生在以下三個小題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
A、（不等式選講）若關(guān)于x的方程x2+4x+|a-1|=0有實根，則實數(shù)a的取值范圍為
[-3，5]
[-3，5]

B、（幾何證明選講）如圖，AD是⊙O的切線，AC是⊙O的弦，過C作AD的垂線，垂足為B，CB與⊙O相交于點E，AE平分∠CAB，且AE=2，則AC=
2
3
2
3
 
C、（坐標系與參數(shù)方程）已知直線
x=1-2t
y=
3
+t.
（t為參數(shù)）與圓ρ=4cos(θ-
π
3
)相交于A、B兩點，則|AB|=
4
4
．

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