Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，x∈R）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，求直線y=

3

與函數(shù)f（x）圖象的所有交點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的最大值，得到A=2．由函數(shù)的周期為4，算出ω=

1

2

，再根據(jù)當(dāng)x=

π

2

時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值為2，解出φ=

π

4

．因此得到f（x）=2sin（

1

2

x+

π

4

），然后解方程2sin（

1

2

x+

π

4

）=

3

，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得x=

π

6

+4kπ或

5π

6

+4kπ（k∈Z），由此即可得到直線y=

3

與函數(shù)f（x）圖象的所有交點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：根據(jù)題意，得A=2，T=

2π

ω

=4π，可得ω=

1

2

∵當(dāng)x=

π

2

時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值為2
∴ω×

π

2

+φ=

1

2

×

π

2

+φ=

π

2

+2kπ（k∈Z），解之得φ=

π

4

+2kπ（k∈Z），取k=0得φ=

π

4

因此，函數(shù)表達(dá)式為f（x）=2sin（

1

2

x+

π

4

）
當(dāng)f（x）=

3

時(shí)，即2sin（

1

2

x+

π

4

）=

3

，可得sin（

1

2

x+

π

4

）=

3

2

∴

1

2

x+

π

4

=

π

3

+2kπ或

1

2

x+

π

4

=

2π

3

+2kπ（k∈Z），可得x=

π

6

+4kπ或

5π

6

+4kπ（k∈Z）
由此可得，直線y=

3

與函數(shù)f（x）圖象的所有交點(diǎn)的坐標(biāo)為（

π

6

+4kπ，

3

）或（

5π

6

+4kπ，

3

）（k∈Z）．

點(diǎn)評：本題給出函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象，要我們確定其解析式并求函數(shù)圖象與y=

3

的交點(diǎn)坐標(biāo)，著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．