Question

定義：若數(shù)列{A_n}滿足，則稱數(shù)列{A_n}為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，點（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=2x²+2x的圖象上，其中n為正整數(shù)．
（1）證明：數(shù)列{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列{lg（2a_n+1）}為等比數(shù)列．
（2）設（1）中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求數(shù)列{a_n}的通項及T_n關于n的表達式．
（3）記，求數(shù)列{b_n}的前n項之和S_n，并求使S_n＞2011的n的最小值．

Answer 1

（1）證明：由條件得：，
∴，
∴{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”． …（4分）
由lg（2a_n+1+1）=2lg（2a_n+1），
∴，
∴{lg（2a_n+1）}為等比數(shù)列． …（6分）
（2）解：∵lg（2a₁+1）=lg5，∴，
∴
∴． …（8分）
∵，
∴． …（10分）
（3）解：，…（12分）
∴
=． …（14分）
由S_n＞2011，得，
當n≤1006時，，當n≥1007時，，
因此n的最小值為1007． …（16分）
分析：（1）根據(jù)點（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=2x²+2x的圖象上，可得數(shù)列遞推式，再進行變形，利用定義即可得到結論；
（2）先確定，再利用對數(shù)運算，即可求得T_n關于n的表達式；
（3）因為，所以S_n=，再根據(jù)S_n＞2011，即可求得n的最小值．
點評：本題考查數(shù)列的應用，考查新定義，考查數(shù)列的通項與求和，解題的關鍵是理解新定義，確定數(shù)列的通項．