【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側棱底面垂直于和，是棱的中點.

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)求二面角的正弦值；

(Ⅲ)在線段上是否存在一點使得與平面所成角的正弦值為若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由.

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)(Ⅲ)答案見解析.

【解析】

(Ⅰ)建立空間直角坐標系，由直線的方向向量和平面的法向量的關系即可證得線面平行；

(Ⅱ)結合(Ⅰ)中的結論進一步求得兩個半平面的法向量，首先確定二面角的余弦值，然后求解二面角的正弦值即可；

(Ⅲ)設出點的坐標，由線面角夾角的正弦值公式計算可確定滿足題意的點N是否存在.

(Ⅰ)以A點為坐標原點，方向分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則：，，

故，設平面SCD的法向量為，則：

，

據(jù)此可得平面SCD的一個法向量為，

且，據(jù)此可得，平面,則平面.

(Ⅱ)設平面的法向量為，則：

，

據(jù)此可得平面的一個法向量,

二面角的平面角大小為，易知：

.

(Ⅲ)假設存在滿足題意的點N，且：，

設點N的坐標為，據(jù)此可得：，

由對應坐標相等可得，

故，由于平面SAB的一個法向量，

由題意可得：，

解得：，

據(jù)此可得存在滿足題意的點N，且的值為.

練習冊系列答案
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（2）若，試求直線的方程；

（3）如果，試求的取值范圍.

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