Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若不等式對任意的正實數(shù)都成立，求實數(shù)的最大整數(shù)；

（3）當時，若存在實數(shù)且，使得，求證： .

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）當時， ，通過求導得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）由可得對任意的正實數(shù)都成立，等價于對任意的正實數(shù)都成立，設，求出，即可求出實數(shù)的最大整數(shù)；（3）由題意，（ ），得出在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，若存在實數(shù)， ，則介于之間，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性列出不等式組，即可求證.

試題解析：（1）當時，

當時， ，

∴函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).

當時，，令，

當時， ；當時， ，

∴函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù).

且，綜上， 的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.

（2）由可得對任意的正實數(shù)都成立，即對任意的正實數(shù)都成立.

記，則 ，可得，

令

∴在上為增函數(shù)，即在上為增函數(shù)

又∵,

∴存在唯一零點，記為 ，

當時， ，當時， ，

∴在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù).

∴的最小值為.

∵，

∴，可得.

又∵

∴實數(shù)的最大整數(shù)為2.

(3)由題意，（ ），

令， 由題意可得， ,

當時， ；當時，

∴函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

若存在實數(shù)， ，則介于之間，不妨設.

∵在上單減，在上單增，且,

∴當時， ，

由，可得，故，

又∵在上單調(diào)遞減，且

∴.

∴，同理，則,解得

∴.