Question

已知函數(shù)f（x）=xe^x（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f′（x）≥3kx-k對一切x∈[-1，+∞）恒成立，求正實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系即可得出；
（II）原不等式等價于（1+x）e^x≥k（3x-1），對x分類討論，再利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=（1+x）e^x，
當x∈（-∞，-1）時，f′（x）＜0；
當x∈（-1，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1）．
（Ⅱ）由已知條件可知，原不等式等價于（1+x）e^x≥k（3x-1），
當-1≤x≤

1

3

時，
∵k＞0，∴k（3x-1）≤0，
而（1+x）e^x≥0，此時不等式顯然成立；
當x＞

1

3

時，k≤

(1+x)ex

3x-1

．
設g（x）=

(1+x)ex

3x-1

(x＞

1

3

)，g′(x)=

(3x2+2x-5)ex

(3x-1)2

，
令g′（x）=0得x=-

5

x

或x=1，
當x∈(

1

3

，1)時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
故當x=1時，g（x）有最小值e，
即得0＜k＜e．

點評：本題考查了利用導研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．