Question

如圖，在直角梯形ABEF中，，，講DCEF沿CD折起，使得，得到一個幾何體，

（1）求證：平面ADF；

（2）求證：AF平面ABCD；

（3）求三棱錐E-BCD的體積.

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】

試題分析：

（1）要證明平面ADF，可以通過BCE面與ADF面平行來得到線面平行，在折疊過程中，會保持BC//AD,CE//DF，故兩平面內(nèi)兩條相交的直線相互平行，故可以證明BCE面與ADF面平行來得到線面平行

（2）要證明AF垂直于ABCD面，只需要證明AF與ABCD面內(nèi)兩條相交的直線AD與DC垂直即可，利用三角形ADF的正弦定理，可以求出AF長度，加以勾股定理就可以證明AF與AD垂直，DC垂直于DF和AD，所以DC垂直于面AFD，進而也是垂直于AF的.

（3）求三棱錐E-BCD的體積，由（1）（2）可以知道面BCE與面ADF平行且DC垂直于面ADF,進而有DC垂直于面BCE，所以求三棱錐的體積可以以三角形BCE底面，DC為高，則高長度已知，底面三角形面積可以利用EC,BC及其兩邊夾角的正弦值來求的.

試題解析：

（1）由已知條件可知，折疊之后平行關系不變,又因為平面，

平面，所以//平面；

同理//平面. 2分

又平面，

平面//平面.

又平面,

∴//平面. 4分

（2）由于

，即

. 6分

平面,

平面. 8分

（3）法一：平面，

. 10分

又,.

12分

14分

法二：取中點，連接.

由（2）易知⊥平面,又平面//平面,

⊥平面. 10分

又,.

，, 12分

.

. 14分

考點：線面平行面面平行線面垂直三棱錐體積