定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x），對一切實(shí)數(shù)x都有f（x+1）=f（2-x）成立，若f（x）=0僅有101個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，那么所有實(shí)數(shù)根的和為（　�。�
分析：由f（x+1）=f（2-x）⇒f（x）=f（3-x）?函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
3
2
對稱，依題意知x=
3
2
必是一個(gè)根，而其他對稱的根共有50對，每一對之和為3，從而可得答案．
解答：解：∵f（x+1）=f（2-x），
∴令t=x+1，
則f（t）=f（3-t），
∴f（x）=f（3-x），
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
3
2
對稱，
又f（x）=0僅有101個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
所以x=
3
2
必是一個(gè)根，而其他對稱的根共有50對，每一對之和為2×
3
2
=3，
∴所有的實(shí)數(shù)根之和為3×50+
3
2
=
303
2
．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，考查函數(shù)的對稱性，推得函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
3
2
對稱是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=Ax+B（A、B為常數(shù)），使得f（x）≥g（x）對一切實(shí)數(shù)x都成立，那么稱g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)．給出如下四個(gè)命題：
①對于給定的函數(shù)f（x），其承托函數(shù)可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)；
②定義域和值域都是R的函數(shù)f（x）不存在承托函數(shù)；
③g（x）=2x為函數(shù)f（x）=|3x|的一個(gè)承托函數(shù)；
④g(x)=
12
x為函數(shù)f（x）=x2的一個(gè)承托函數(shù)．
其中正確的命題有
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=Ax+B（A，B為常數(shù)），使得f（x）≥g（x）對一切實(shí)數(shù)都成立，那么稱為g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)，給出如下命題：
①定義域和值域都是R的函數(shù)f（x）不存在承托函數(shù)；
②g（x）=2x為函數(shù)f（x）=ex的一個(gè)承托函數(shù)；
③g（x）=
1
2
x為函數(shù)f（x）=x2的一個(gè)承托函數(shù)；
④對給定的函數(shù)f（x），其承托函數(shù)可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)
其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（　�。�
A、0B、1C、2D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=Ax+B（A，B為常數(shù)），使得f（x）≥g（x）對一切實(shí)數(shù)x都成立，那么稱g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)．
下列說法正確的有：
①②
①②
．（寫出所有正確說法的序號）
①對給定的函數(shù)f（x），其承托函數(shù)可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)；
②g（x）=ex為函數(shù)f（x）=ex的一個(gè)承托函數(shù)；
③函數(shù)f(x)=
x
x2+x+1
不存在承托函數(shù)；
④函數(shù)f(x)=
1
5x2-4x+11
，若函數(shù)g（x）的圖象恰為f（x）在點(diǎn)p(1，
1
2
)處的切線，則g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=Ax+B（A，B為常數(shù)）使得f（x）≥g（x）對任意的x∈R都成立，則稱g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)，則下列說法正確的是（　�。�
A、函數(shù)f（x）=x2-2x不存在承托函數(shù)
B、g（x）=x為函數(shù)f（x）=sinx的一個(gè)承托函數(shù)
C、g（x）=x為函數(shù)f（x）=ex-1的一個(gè)承托函數(shù)
D、函數(shù)f(x)=
2x
x2-x+1
不存在承托函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x），同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：
①f（-1）=2；②x＜0時(shí)，f（x）＞1；③對任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）；
（1）求f（0），f（-4）的值； 
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求出不等式f(-4x2)f(10x)≥
116
的解集．

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