Question

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A（-2，0）、B（2，0）、三點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓E交于M、N兩點，證明直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）解法一：當橢圓E的焦點在x軸上時，設(shè)其方程為（a＞b＞0），則由題意可求a=2，又點在橢圓E上，代入橢圓方程可求b，可求
當橢圓E的焦點在y軸上時，設(shè)其方程為（a＞b＞0），則由題意可得b=2，又點在橢圓E上，代入可求a，結(jié)合橢圓a＞b可求
解法二：設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），把A（-2，0）、B（2，0）、代入橢圓E的方程，可求m，n，進而可求橢圓方程
（Ⅱ）證法一：將直線l：y=k（x-1）代入橢圓E的方程并整理，，設(shè)直線l與橢圓E的交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁+x₂，x₁x₂，從而可
求出直線AM的方程，它與直線x=4的交點坐標為P，同理可求得直線BN與直線x=4的交點坐標為Q 通過證明P、Q兩點的縱坐標相等可證P，Q重合即可證
證法二：將直線l：y=k（x-1），代入橢圓E的方程，直線l與橢圓E的交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁+x₂，x₁x₂，從而可求直線AM、直線BN的方程由直線AM與直線BN的方程消去y，可求x=4即可證
證法三：將直線l：y=k（x-1），代入橢圓方程，設(shè)直線l與橢圓E的交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁+x₂，x₁x₂，消去k²得，2x₁x₂=5（x₁+x₂）-8．，從而可求直線AM、BN的方程，由直線AM與直線BN的方程消去y得可求x=4即證
解答：解（Ⅰ）解法一：當橢圓E的焦點在x軸上時，設(shè)其方程為（a＞b＞0），
則a=2，又點在橢圓E上，得．解得b²=3．
∴橢圓E的方程為．
當橢圓E的焦點在y軸上時，設(shè)其方程為（a＞b＞0），
則b=2，又點在橢圓E上，得．解得a²=3，這與a＞b矛盾．
綜上可知，橢圓E的方程為．                               …（4分）
解法二：設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），
將A（-2，0）、B（2，0）、代入橢圓E的方程，得解得，．
∴橢圓E的方程為．                                     …（4分）
（Ⅱ）證法一：將直線l：y=k（x-1）代入橢圓E的方程并整理，得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，…（6分）
設(shè)直線l與橢圓E的交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由根與系數(shù)的關(guān)系，得，．              …（8分）
直線AM的方程為：，它與直線x=4的交點坐標為，同理可求得直線BN與直線x=4的交點坐標為．       …（10分）
下面證明P、Q兩點重合，即證明P、Q兩點的縱坐標相等：P
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴=．
因此結(jié)論成立．
綜上可知，直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．                …（14分）
證法二：將直線l：y=k（x-1），代入橢圓E的方程并整理，得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，…（6分）
設(shè)直線l與橢圓E的交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由根與系數(shù)的關(guān)系，得，．              …（8分）
直線AM的方程為：，即．
直線BN的方程為：，即．   …（10分）
由直線AM與直線BN的方程消去y，得=．
∴直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．                         …（14分）
證法三：將直線l：y=k（x-1），代入橢圓方程并整理，得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，…（6分）
設(shè)直線l與橢圓E的交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由根與系數(shù)的關(guān)系，得，．              …（8分）
消去k²得，2x₁x₂=5（x₁+x₂）-8．                               …（10分）
直線AM的方程為：，即．
直線BN的方程為：，即．     …（12分）
由直線AM與直線BN的方程消去y得，．
∴直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．                     …（14分）
點評：本小題主要考查橢圓的概念、橢圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查待定系數(shù)法、分類與整合、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力