Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}的前n項和分別為S_n、T_n，且滿足2S_n=-2a_n+n²-n+2，2b_n=n-2-a_n．
（Ⅰ）求a₁、b₁的值，并證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）試確定實數(shù)λ的值，使數(shù)列是等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）在2S_n=-2a_n+n²-n+2，2b_n=n-2-a_n令n=1代入求得a₁、b₁的值，根據(jù)，求得數(shù)列{a_n}通項公式，代入2b_n=n-2-a_n，根據(jù)等比數(shù)列的定義，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）求得數(shù)列{a_n}、{b_n}的前n項和分別為S_n、T_n，利用等差數(shù)列的定義求得實數(shù)λ的值，使數(shù)列是等差數(shù)列．
解答：解：
（Ⅰ）證明：由已知，得2a₁=-2a₁+1-1+2
∴a₁=
∴b₁=-
由2S_n=-2a_n+n²-n+2，得2S_n+1=-2a_n+1+（n+1）²-（n+1）+2
兩式作差得：2a_n+1=a_n+n．
∴．
∴數(shù)列{b_n}是以-為首項，為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=-（）^n-1，
∴T_n=
∵2b_n=n-2-a_n
∴a_n=n-2-2b_n⁼+n-2
∴
∵數(shù)列{}是等差數(shù)列的充要條件是=An+B（A、B為常數(shù)）
即T_n+λS_n=An²+Bn
又-
∴當且僅當即時
數(shù)列{}是等差數(shù)列．
點評：考查等比數(shù)列的定義和前n項和公式，及根據(jù)求得數(shù)列{a_n}通項公式，體現(xiàn)分類討論的思想方法，利用等差數(shù)列的定義探討參數(shù)λ的值，增加了試題的難度，屬中檔題．