Question

已知圓x²+y²=4上一定點(diǎn)A（2，0），B（1，1）為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；
（2）若∠PBQ=90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出AP的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出P的坐標(biāo)，據(jù)P在圓上，將P坐標(biāo)代入圓方程，求出中點(diǎn)的軌跡方程．
（2）利用直角三角形的中線等于斜邊長(zhǎng)的一半得到|PN|=|BN|，利用圓心與弦中點(diǎn)連線垂直弦，利用勾股定理得到
|OP|²=|ON|²+|PN|²，利用兩點(diǎn)距離公式求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．
解答：解：（1）設(shè)AP中點(diǎn)為M（x，y），
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2x-2，2y）．
∵P點(diǎn)在圓x²+y²=4上，∴（2x-2）²+（2y）²=4．
故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為（x-1）²+y²=1．
（2）設(shè)PQ的中點(diǎn)為N（x，y），
在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，
設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則ON⊥PQ，
所以|OP|²=|ON|²+|PN|²=|ON|²+|BN|²，
所以x²+y²+（x-1）²+（y-1）²=4．
故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x²+y²-x-y-1=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、圓心與弦中點(diǎn)的連線垂直弦、相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．