Question

如圖,直角梯形ABMN中,∠NAB=90°，AN∥BM,AB=2,AN=,BM=,橢圓C以A,B為焦點且過點N.

（1）建立適當?shù)淖鴺讼?求橢圓C方程;

(2)若點E滿足,問是否存在不平行AB的直線L與橢圓C交于P,Q兩點,且|PE|=|QE|,若存在,求出直線L與AB夾角的范圍;若不存在,說明理由?

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）存在            L與AB的夾角范圍為(0,

【解析】(1) 先建立直角坐標系，設所求橢圓方程為,根據(jù)AB=2,AN=,BM=，得A(-1,0), B(1,0), N(-1,),代入橢圓方程可求得；(2) 設L:y=kx+m (k≠0),與橢圓方程聯(lián)立，求得PQ的中點坐標用k，m表示，由PQ⊥EFm=,由Δ>0可得4k²+3≥m²。

解:(1)以AB所在直線為x軸,AB中點O為原點建立如圖所示的坐標系,

A(-1,0), B(1,0), N(-1,),

設所求橢圓方程為, …………………2分

把N點坐標代入橢圓方程,可得:,,

解得,

故所求橢圓方程為:

(2)設E(x,y),M(1,)∵∴E(0,1)

顯然L:x=0不滿足

設L:y=kx+m (k≠0),與橢圓方程

聯(lián)立可得:(3+4k²)x²+8kmx+4m²-12=0

由Δ>0可得4k²+3≥m², ……………………9分

設PQ的中點為F(x₀,y₀),P(x₁,y₁)

Q(x₂,y₂),則2x₀=,2y₀=

由PQ⊥EFm=,

∴≥,

∴0<k²≤1,∴k∈[-1,1]且k≠0∴L與AB的夾角范圍為(0,…13分