Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（I）求證：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面MAB與平面FCB所成二面角的平面角為θ（θ≤90°），試求cosθ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明線面垂直可以利用面面垂直進(jìn)行證明，即若兩個(gè)平面垂直并且其中一個(gè)平面內(nèi)的一條直線a與兩個(gè)平面的交線操作時(shí)則直線a與另一個(gè)平面垂直，即可證明線面垂直．
（2）建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)坐標(biāo)表示出兩個(gè)平面的法向量，結(jié)合向量的有關(guān)運(yùn)算求出二面角的余弦的表達(dá)式，再利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求出余弦的范圍．
解答：解：（I）證明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，
∴AB=2
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3
∴AB²=AC²+BC²
∴BC⊥AC
∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC?平面ABCD
∴BC⊥平面ACFE
（II）由（I）可建立分別以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸的如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
令，則，B（0，1，0），M（λ，0，1）
∴
設(shè)為平面MAB的一個(gè)法向量，
由得
取x=1，則，
∵是平面FCB的一個(gè)法向量
∴
∵∴當(dāng)λ=0時(shí)，cosθ有最小值，
當(dāng)時(shí)，cosθ有最大值．
∴．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便于找到線面之間的平行、垂直關(guān)系，并且對(duì)建立坐標(biāo)系也有一定的幫助，利用向量法解決空間角空間距離是最好的方法．