Question

已知等差數列{a_n}的公差為d，前n項和為S_n，且滿足

S4≥10 S5≤15

(*)，
（1）試用a₁，d表示不等式組（*），并在給定的坐標系中用陰影畫出不等式組表示的平面區(qū)域；
（2）求a₄的最大值，并指出此時數列{a_n}的公差d的值．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,簡單線性規(guī)劃的應用

專題：等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（1）利用已知條件列出a₁，d表示不等式組（*），在給定的坐標系中用陰影畫出不等式組表示的平面區(qū)域；
（2）利用目標函數，推出a₄的表達式，通過目標函數的幾何意義求解最大值，同時求出數列{a_n}的公差d的值．

解答： （本小題滿分13分）
解：（1）由已知

S4≥10 S5≤15

有

4a1+ 4×3 2 d≥10 5a1+ 5×4 2 d≤15

，…（2分）
化簡得

2a1+3d≥5 a1+2d≤3

．…（3分）
在平面直角坐標系a₁od中，根據不等式組畫出可行域（陰影部分）．…（7分）
（2）目標函數為a₄=a₁+3d
由

2a1+3d=5 a1+2d=3

得交點A（1，1）．…（9分）
由圖知當直線a₄=a₁+3d過點A（1，1）時，
縱截距

a4

3

最大，…（11分）
此時，數列{a_n}的公差d=1，a₄的最大值為4．…（13分）

點評：本題考查數列與不等式相結合，線性規(guī)劃的應用，考查分析問題解決問題的能力．