Question

某超市為促銷商品，特舉辦“購(gòu)物有獎(jiǎng)100%中獎(jiǎng)”活動(dòng)．凡消費(fèi)者在該超市購(gòu)物滿10元，享受一次搖獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，購(gòu)物滿20元，享受兩次搖獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，以此類推．搖獎(jiǎng)機(jī)的結(jié)構(gòu)如圖所示，將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣�、小球在下落的過(guò)程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋為一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金為2元，落入B袋為二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金為1元、已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是

1

2

．
（Ⅰ）求搖獎(jiǎng)兩次，均獲得一等獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）某消費(fèi)者購(gòu)物滿20元，搖獎(jiǎng)后所得獎(jiǎng)金為X元，試求X的分布列與期望；
（Ⅲ）若超市同時(shí)舉行購(gòu)物八八折讓利于消費(fèi)者活動(dòng)（打折后不再享受搖獎(jiǎng)），某消費(fèi)者剛好消費(fèi)20元，請(qǐng)問(wèn)他是選擇搖獎(jiǎng)還是選擇打折比較劃算．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，離散型隨機(jī)變量及其分布列與數(shù)學(xué)期望，
（1）記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，則易得P（A）=

1

4

，P（B）=

3

4

，則獲得兩次一等獎(jiǎng)的概率P=P（A）•P（A），代入即可得到答案．
（2）消費(fèi)者購(gòu)物滿20元，搖獎(jiǎng)后所得獎(jiǎng)金為X元，X可以取2，3，4，分類討論并計(jì)算出P（X=2），P（X=3），P（X=4）的值后，即可得到隨機(jī)變量X的分布列，進(jìn)而求出數(shù)學(xué)期望．
（3）我們可以分別計(jì)算，剛好消費(fèi)20元時(shí)，八八折能節(jié)省的錢數(shù)，及抽獎(jiǎng)能節(jié)省的錢數(shù)，比較后即可得到答案．

解答：解：記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，則小球落入A袋中當(dāng)且僅當(dāng)小球一直向左落下或一直向右落下，故P(A)=(

1

2

)3+(

1

2

)3=

1

4

，P(B)=1-P(A)=

3

4

.（2分）
（I）獲得兩次一等獎(jiǎng)的概率為P=P(A)•P(A)=

1

16

．（4分）
（II）X可以取2，3，4
P（X=2）=(

3

4

)2=

9

16

，
P（X=3）=

C

1 2

1

4

×

3

4

=

6

16

，
P（X=4）=(

1

4

)2=

1

16

.（8分）
分布列為：

所以E（X）=2×

9

16

+3×

6

16

+4×

1

16

=2.5．（10分）
（Ⅲ）參加搖獎(jiǎng)，可節(jié)省2.5元，打折優(yōu)惠，可節(jié)省2.4元，當(dāng)然參加搖獎(jiǎng)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，要想計(jì)算一個(gè)事件的概率，首先我們要分析這個(gè)事件是分類的（分幾類）還是分步的（分幾步），然后再利用加法原理和乘法原理進(jìn)行求解．對(duì)于概率要多練習(xí)使用列舉法表示滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)．對(duì)于數(shù)學(xué)期望的計(jì)算則要熟練掌握運(yùn)算方法和步驟．