Question

甲船在A處觀察乙船，乙船在B處，在甲的北偏東60°的方向，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的倍． 求：
（1）甲船應朝什么方向行駛，才能在最短時間內(nèi)追上乙船；
（2）甲船追上乙船時，甲船行駛了多少海里？

Answer 1

解：（1）如圖所示，設到C點甲船追上乙船，乙到C地用的時間為t，乙船速度為v，
則BC=tv，AC=tv，B=120°，（2分）
由正弦定理知，（4分）
∴，
∴sin∠CAB=，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=30°，
∴甲追擊的方向是北偏東30⁰．（8分）
（2）BC=AB=a，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos 120°=a²+a²-2a²•=3a²，∴AC=a．
∴甲追上乙船時，甲行駛了a 海里．
∴甲追擊的方向是北偏東30⁰．甲追上乙船時，甲行駛了a 海里． （14分）
分析：（1）由題意及方位角的定義畫出簡圖，設到C點甲船上乙船，乙到C地用的時間為t，乙船速度為v，則BC=tv，AC=tv，B=120°，在三角形中利用正弦定理，可求甲追擊的方向；
（2）在△ABC中，利用余弦定理即可求解甲船追上乙船時，甲船行駛的距離．
點評：本題重點考查正余弦定理在解三角形中的運用，考查學生對方位角的概念的理解，考查學生的計算能力，屬于中檔題．