如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，

(1)BD1與交于點B的三個側(cè)面所成的角分別為α、β、γ，求證：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2；

(2)BD1與交于點B的三條棱所成的角分別為α、β、γ，求證：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1．

答案：
解析：

　　證明：(1)設(shè)長方體的交于點B的三條棱AB＝a，BC＝b，BB1＝c，BD1＝m，

　　則BD1與三個側(cè)面所成的角分別是α＝∠A1BD1，β＝∠C1BD1，γ＝∠DBD1，m2＝a2＋b2＋c2，

　　易得cos2α＋cos2β＋cos2γ＝

　　(2)BD1與交于點B的三條棱所成的角分別為α＝∠B1BD1，β＝∠CBD1，γ＝∠ABD1，

　　易得cos2α＋cos2β＋cos2γ＝


提示：

本題是長方體中的兩個重要的結(jié)論．可利用構(gòu)造法證明這兩個結(jié)論，需要先找到線面、線線所成的角．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

19、如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，點P為DD1的中點．
（1）求證：直線BD1∥平面PAC；
（2）求證：平面PAC⊥平面BDD1；
（3）求證：直線PB1⊥平面PAC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

15、如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中被截去一部分，
（1）其中EF∥A1D1．剩下的幾何體是什么？截取的幾何體是什么？
（2）若FH∥EG，但FH＜EG，截取的幾何體是什么？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖在長方體ABCD-A1B1C1D1中，其中AB=BC，E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點，則以下結(jié)論中
①EF與BB1垂直；
②EF⊥平面BCC1B1；
③EF與C1D所成角為45°；
④EF∥平面A1B1C1D1．
不成立的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，P是線段AC的中點．
（1）判斷直線B1P與平面A1C1D的位置關(guān)系并證明；
（2）若F是CD的中點，AB=BC=1，且四面體A1C1DF體積為
2
12
，求三棱錐F-A1C1D的高．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知如圖：長方體ABCD-A1B1C1D1中，交于頂點A的三條棱長別為AD=3，AA1=4，AB=5．一天，小強觀察到在A處有一只螞蟻，發(fā)現(xiàn)頂點C1處有食物，于是它沿著長方體的表面爬行去獲取食物，則螞蟻爬行的最短路程是（　�。�
A、
74
B、5
2
C、4
5
D、3
10

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