Question

已知方向向量為的直線l過(guò)橢圓的焦點(diǎn)以及點(diǎn)（0，），直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)與另一焦點(diǎn)圍成的三角形周長(zhǎng)為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)左焦點(diǎn)F₁且不與x軸垂直的直線m交橢圓于M、N兩點(diǎn)，（O坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線m的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）l：y=，直線l與x軸交點(diǎn)即為橢圓的右焦點(diǎn)F₂（2，0），故c=2，由已知△F₁AB周長(zhǎng)為4，知a=，由此能求出橢圓方程．
（2）橢圓的左焦點(diǎn)為F₁（-2，0），則直線m的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，，由此能求出m的方程．
解答：解：（1）l：y=，
直線l與x軸交點(diǎn)即為橢圓的右焦點(diǎn)F₂（2，0），
∴c=2，
由已知△F₁AB周長(zhǎng)為4，
則4a=4，即a=，
∴b=，
故橢圓方程為．
（2）橢圓的左焦點(diǎn)為F₁（-2，0），則直線m的方程為y=k（x+2），
代入橢圓方程，得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，，
∵===||•||cos∠MON≠0，
∴sib，即，
∵=，
原點(diǎn)O到m的距離d=，
則==，
解得，
∴m的方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．