Question

如圖梯形ABCD，AD∥BC，∠A=90°，過點(diǎn)C作CE∥AB，AD=2BC，AB=BC，，現(xiàn)將梯形沿CE折成直二面角D-EC-AB．
（1）求直線BD與平面ABCE所成角的正切值；
（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P，在直線DE上是否存在一點(diǎn)M，使得PM∥面BCD？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)M的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由；

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BE，因?yàn)樘菪蜛BCD，∠A=90°，CE∥AB，所以DE⊥EC，由面DEC⊥面ABCE且交于EC，DE⊥面ABCE，知∠DBE為直線BD與平面ABCE所成角，由此能求出結(jié)果．
（2）當(dāng)M為線段DE的中點(diǎn)時(shí)，PM∥平面BCD取CD的中點(diǎn)N，連接BN，MN，則MN∥=∥=PB，由此能夠求出點(diǎn)M，使得PM∥面BCD．
解答：（1）解：連接BE，因?yàn)樘菪蜛BCD，∠A=90°，CE∥AB，
所以DE⊥EC，
又∵面DEC⊥面ABCE且交于EC，DE⊥面ABCE，
所以∠DBE為所求．
設(shè)BC=1，有AB=1 AD=2，所以DE=1 EB=，
所以．…（6分）
（2）解：存在點(diǎn)M，當(dāng)M為線段DE的中點(diǎn)時(shí)，PM∥平面BCD，
取CD的中點(diǎn)N，連接BN，MN，則MN∥=∥=PB
所以PMNB為平行四邊形，所以PM∥BN
因?yàn)锽N在平面BCD內(nèi)，PM不在平面BCD內(nèi)，
所以PM∥平面BCD．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．