Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²）a_n+sin²，n=1，2，3，…．
（1）求a₃，a₄并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=，S_n=b₁+b₂+…+b_n．證明：當(dāng)n≥6時(shí)，|S_n-2|＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)a_n+2=（1+cos²）a_n+sin²，把a(bǔ)₁和a₂代入即可求得a₃，a₄，先看當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，整理得a_2k+1-a_2k-1=1進(jìn)而可判斷數(shù)列{a_2k-1}是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列；n=2k（k∈N^*）時(shí)，整理得a_2k+2=2a_2k進(jìn)而可判斷數(shù)列{a_2k}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，最后綜合可得答案．
（2）把（1）中求得a_n代入b_n中可知數(shù)列{b_n}是由等比和等差數(shù)列構(gòu)成，因而可用錯(cuò)位相減法求和，得到數(shù)列的求和公式S_n=2-．．要證明當(dāng)n≥6時(shí)，|S_n-2|＜成立，只需證明當(dāng)n≥6時(shí)，＜1成立．用數(shù)學(xué)歸納法，先看當(dāng)n=6時(shí)求得＜1，再假設(shè)當(dāng)n=k（k≥6）時(shí)不等式成立，通過(guò)n=k+1時(shí)，等式亦成立，進(jìn)而證明結(jié)論．
解答：解：（1）因?yàn)閍₁=1，a₂=2，
所以a₃=（1+cos²）a₁+sin²=a₁+1=2，
a₄=（1+cos²π）a₂+sin²π=2a₂=4．
一般地，當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，a_2k+1=[1+cos²]a_2k-1+sin²=a_2k-1+1，即a_2k+1-a_2k-1=1．
所以數(shù)列{a_2k-1}是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，
因此a_2k-1=k．
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k+2=（1+cos²）a_2k+sin²=2a_2k．
所以數(shù)列{a_2k}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，
因此a_2k=2^k．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為
a_n=
（2）由（1）知，b_n==，
所以S_n=+++…+，①
S_n=+++…+，②
①-②得，S_n=+++…+-=-=1--，
所以S_n=2--=2-．
要證明當(dāng)n≥6時(shí)，|S_n-2|＜成立，只需證明當(dāng)n≥6時(shí)，＜1成立．
（1）當(dāng)n=6時(shí)，==＜1成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥6）時(shí)不等式成立，即＜1．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
=×＜＜1．
由（1）、（2）所述，當(dāng)n≥6時(shí)，＜1．
即當(dāng)n≥6時(shí)，|S_n-2|＜．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推式．?dāng)?shù)列的遞推式常用來(lái)解決數(shù)列求通項(xiàng)公式等問(wèn)題，有時(shí)要注意數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的不同．