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(廣東六校聯考模擬)設函數f(x)的定義域為R，對任意實數x、y都有f(x＋y)=f(x)＋f(y)，當x＞0時，f(x)＞0且f(2)=6．

(1)求證：函數f(x)為奇函數；

(2)證明函數f(x)在R上是增函數；

(3)在區(qū)間[－4，4]上，求f(x)的最值．

答案：略
解析：

證明：∵，f(x＋y)=f(x)＋f(y)，

∴令x=y=0，

得f(0)=f(0)＋f(0)，　　　　　　　(1分)

∴f(0)=0．　　　　　　　　　　　　(2分)

令y=－x，

得f(0)=f(x)＋f(－x)，　　　　　　　(3分)

即f(－x)=－f(x)，

∴函數f(x)為奇函數．　　　　　　　　(4分)

(2)設，且，　　　　　　(5分)

則．　　(6分)

又∵當x＞0時，f(x)＞0，

∴，　　　　　　　　(7分)

即．　　　　　　　　　　　　　　(8分)

∴函數f(x)在R上是增函數．　　　　　　　　(9分)

(3)∵函數f(x)在R上是增函數，∴函數f(x)在區(qū)間[－4，4]上也是增函數，

(10分)

∴函數f(x)的最大值為f(4)，最小值為f(－4)．　　(11分)

∵f(2)=6，∴f(4)=f(2＋2)=f(2)＋f(2)=12．　　　(12分)

∵函數f(x)為奇函數，

∴f(－4)=－f(4)=－12．　　　　　　　　　　　(13分)

故函數f(x)最大值為12，最小值為－12．　　　　(14分)


練習冊系列答案
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[　　]

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B．單調遞減

C．先增后減

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[　　]

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B．

C．

D．

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