Question

已設(shè)函數(shù)f（x）=

ex

x2+ax+a

，其中a為實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，若直線l過（2，0）與f（x）相切，求直線l的方程；
（Ⅱ）若f（x）的定義域?yàn)镽，求a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)f（x）的定義域?yàn)镽時(shí)，求f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出a=0時(shí)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，求出切線的斜率，由點(diǎn)在曲線上，和兩點(diǎn)的斜率公式，列出方程，解得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得到切線方程；
（Ⅱ）f（x）的定義域?yàn)镽，說(shuō)明分母不為零，利用判別式直接求a的取值范圍；
（Ⅲ）f（x）的定義域?yàn)镽時(shí)，求導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)為0確定x的值，根據(jù)a的范圍，確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求f（x）的單減區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=

ex

x2

，f′（x）=

ex•(x-2)

x3

，
設(shè)切點(diǎn)為（m，n），則n=

em

m2

，且f′（m）=

em•(m-2)

m3

=

n-0

m-2

，
解得m=1或4，則切線的斜率為-e或

e4

32

，
故直線l的方程為：y=-ex+2e或y=

e4

32

x-

e4

16

；
（Ⅱ）f（x）的定義域?yàn)镽，
∴x²+ax+a≠0恒成立，∴△=a²-4a＜0，∴0＜a＜4，
即當(dāng)0＜a＜4時(shí)f（x）的定義域?yàn)镽．
（Ⅲ）由題意可知：f′（x）=

x(x+a-2)•ex

(x2+ax+a)2

，
令f′（x）≤0，得x（x+a-2）≤0．
由f′（x）=0，得x=0或x=2-a，
又∵0＜a＜4，∴0＜a＜2時(shí)，由f′（x）＜0得0＜x＜2-a；
當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）≥0；當(dāng)2＜a＜4時(shí)，由f′（x）＜0得2-a＜x＜0，
即當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2-a）；
當(dāng)2＜a＜4時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（2-a，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義域及其求法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，是中檔題．