(2012•汕頭一模)已知a∈R,函數(shù)f(x)=x2|x-a|.
(Ⅰ) 當a=1時,求使f(x)=x成立的x的集合;
(Ⅱ) 判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性;
(Ⅲ)當a>2時,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值.
分析:(Ⅰ)分x≤1,x>1兩種情況討論去掉絕對值符號,然后解方程f(x)=x即可得到x的集合;
(Ⅱ)按a=0,a≠0兩種情況討論:a=0時易判斷函數(shù)奇偶性,當a≠0時,令x=±1可判斷函數(shù)f(x)的奇偶性情況;
(Ⅲ)設(shè)此最小值為m,a>2時求得f′(x)=3x(
2
3
a
-x),按
2
3
a
在區(qū)間[1,2]的右側(cè)、內(nèi)部兩種情況討論單調(diào)性,由單調(diào)性可得f(x)的最小值,當2<a<3時根據(jù)f(1)與f(2)的大小進行討論;
解答:解:(Ⅰ)由題意,當a=1時,f(x)=x2|x-1|,
當x≤1時,由f(x)=x2(1-x)=x,解得x=0;
當x>1時,由f(x)=x2(x-1)=x,解得x=
1+
5
2

綜上,所求解集為{0,
1+
5
2
}

(Ⅱ)可以對a進行如下分類討論:
(1)當a=0時,f(x)=x2|x|=f(-x),x∈R,顯然,函數(shù)f(x)是偶函數(shù).
(2)當a≠0時,令x=±1可得:f(1)=|1-a|,f(-1)=|-1-a|=|1+a|
顯然f(1)≠f(-1)≠-f(1),
故函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù).
(Ⅲ)設(shè)此最小值為m,當a>2時,在區(qū)間[1,2]上,f(x)=ax2-x3,f′(x)=2ax-3x2=3x(
2
3
a-x)

(1)若a≥3,在區(qū)間(1,2)內(nèi)f'(x)>0,從而f(x)為區(qū)間[1,2]上的增函數(shù),
由此得m=f(1)=a-1.
(2)若2<a<3,則1<
2
3
a<2

1<x<
2
3
a
時,f'(x)>0,從而f(x)為區(qū)間[1,
2
3
a]上的增函數(shù);
2
3
a<x<2
時,f'(x)<0,從而f(x)為區(qū)間[
2
3
a,2]上的減函數(shù).
因此,當2<a<3時,m=f(1)=a-1或m=f(2)=4(a-2).
2<a≤
7
3
時,4(a-2)≤a-1,故m=f(2)=4(a-2);
7
3
<a<3
時,a-1<4(a-2),故m=f(1)=a-1.
綜上所述,所求函數(shù)的最小值m=
a-1,a>
7
3
4a-8,2<a≤
7
3
點評:本題考查函數(shù)的零點、函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,考查函數(shù)方程思想、分類討論思想,考查學(xué)生運用知識解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•汕頭一模)(坐標系與參數(shù)方程選做題)過點(2,
π
3
)
且平行于極軸的直線的極坐標方程為
ρsinθ=
3
ρsinθ=
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•汕頭一模)(幾何證明選講選做題)已知PA是⊙O的切線,切點為A,直線PO交⊙O于B、C兩點,AC=2,∠PAB=120°,則⊙O的面積為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•汕頭一模)某商店經(jīng)銷一種洗衣粉,年銷售總量為6000包,每包進價為2.8元,銷售價為3.4元,全年分若干次進貨,每次進貨均為x包,已知每次進貨的運輸勞務(wù)費為62.5元,全年保管費為1.5x元.
(Ⅰ)將該商店經(jīng)銷洗衣粉一年的利潤y(元)元表示為每次進貨量x(包)的函數(shù);
(Ⅱ)為使利潤最大,每次應(yīng)進貨多少包?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•汕頭一模)如圖,直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面,PA⊥平面ABC,DC=BC=2PA,E為DB的中點.
(Ⅰ)證明:AE⊥BC;
(Ⅱ)若點F是線段BC上的動點,設(shè)平面PFE與平面PBE所成的平面角大小為θ,當θ在[0,
π4
]內(nèi)取值時,直線PF與平面DBC所成的角為α,求tanα的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•汕頭一模)如圖,AB為圓O的直徑,點E、F在圓O上,AB∥EF,矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直,且AB=2,AD=EF=1.
(1)求證:AF⊥平面CBF;
(2)設(shè)FC的中點為M,求證:OM∥平面DAF;
(3)求三棱錐F-CBE的體積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柣鎴eГ閸ゅ嫰鏌ら崫銉︽毄濞寸姵鑹鹃埞鎴炲箠闁稿﹥顨嗛幈銊р偓闈涙啞瀹曞弶鎱ㄥ璇蹭壕闂佺粯渚楅崰娑氱不濞戞ǚ妲堟繛鍡樺姈椤忕喖姊绘担鑺ョ《闁革綇绠撻獮蹇涙晸閿燂拷 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐礃椤曆囧煘閹达附鍋愰柛娆忣槹閹瑧绱撴担鍝勵€岄柛銊ョ埣瀵濡搁埡鍌氫簽闂佺ǹ鏈粙鎴︻敂閿燂拷