【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點F在直線上。

（Ⅰ）求拋物線C的方程。

（Ⅱ）過點做互相垂直的兩條直線與曲線C交于A，B兩點，與曲線C交于E,F兩點，線段AB、EF的中點分別為M、N，求證：直線MN過定點P，并求出定點P的坐標。

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）直線過定點，其坐標為.

【解析】

（Ⅰ）由拋物線的焦點在直線上，求得焦點的坐標，進而得出，即可求解拋物線的標準方程；

（Ⅱ）設直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關系，求解點的坐標，分類討論，即可求解.

（Ⅰ）拋物線的焦點在直線上，

為， 即，

拋物線的方程為．

（Ⅱ）易知直線，的斜率存在且不為0，設直線的斜率為，，，

則直線：，，

由得，

，

∴，，

∴．同理得．

當或時，直線的方程為；

當且時，直線的斜率為，

∴直線的方程為，即，

∴直線過定點，其坐標為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，且．

（1）求實數(shù)的值；

（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調性，并用函數(shù)單調性的定義證明；

（3）求實數(shù)的取值范圍，使得關于的方程分別為：

①有且僅有一個實數(shù)解；②有兩個不同的實數(shù)解；③有三個不同的實數(shù)解．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為， 的極坐標方程為.

（1）求直線與的交點的軌跡的方程；

（2）若曲線上存在4個點到直線的距離相等，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知與分別是邊長為1與2的正三角形， ，四邊形為直角梯形，且， ，點為的重心， 為中點， 平面， 為線段上靠近點的三等分點.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若二面角的余弦值為，試求異面直線與所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求a，b的值；

（2）判斷函數(shù)的單調性，并用定義證明；

（3）當時，恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)滿足．

（Ⅰ）當時，解不等式；

（Ⅱ）若關于x的方程的解集中有且只有一個元素，求a的值；

（Ⅲ）設，若對，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：y2=2px過點P（1，1）.過點（0， ）作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點.

（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；

（Ⅱ）求證：A為線段BM的中點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某中學組織了一次高二文科學生數(shù)學學業(yè)水平模擬測試，學校從測試合格的男、女生中各隨機抽取100人的成績進行統(tǒng)計分析，分別制成了如圖所示的男生和女生數(shù)學成績的頻率分布直方圖．

（Ⅰ）若所得分數(shù)大于等于80分認定為優(yōu)秀，求男、女生優(yōu)秀人數(shù)各有多少人？

（Ⅱ）在（Ⅰ）中的優(yōu)秀學生中用分層抽樣的方法抽取5人，從這5人中任意任取2人，求至少有一名男生的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】[2018·郴州期末]已知三棱錐中，垂直平分，垂足為，是面積為的等邊三角形，，，平面，垂足為，為線段的中點．

（1）證明：平面；

（2）求與平面所成的角的正弦值．

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