Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知2S_n+1=S_n+4（n∈N^*），a₁=2
（1）證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=a_n²，{b_n}的前n項和為T_n，試比較

Sn2

Tn

與3的大��；
（3）證明：不存在正整數(shù)n和大于4的正整數(shù)m使得等式a_m+1=

Sn+1-m

Sn-m

成立．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）將n換成n-1，兩式相減得2a_n+1=a_n，求出a₂，a₃，運用等比數(shù)列的定義，即可證明；
（2）分別求出a_n，b_n，S_n，T_n，令p=（

1

2

）ⁿ＞0則

Sn2

Tn

=3（-1+

2

1+p

），即可比較

Sn2

Tn

與3的大��；
（3）運用反證法證明，求出a_m，得到S_n-m=

an+1

am

，運用（2）的結(jié)論，化簡得到（4-m）2ⁿ=4+2^m-1，對等式的左右兩邊分析，即可得證．

解答： （1）證明：∵2S_n+1=S_n+4，∴2S_n=S_n-1+4（n≥2），
相減得，2a_n+1=a_n，即

an+1

an

=

1

2

（n≥2），
由2S₂=S₁+4得a₂=1，則a₃=

1

2

，即

a2

a1

=

1

2

，
∴{a_n}是以2為首項，

1

2

為公比的等比數(shù)列；
（2）解：∵a_n=（

1

2

）^n-2，S_n=

2(1-( 1 2 )n)

1- 1 2

即S_n=4（1-（

1

2

）ⁿ），
b_n=（

1

4

）^n-2，T_n=

16

3

（1-（

1

4

）ⁿ），
令p=（

1

2

）ⁿ＞0，

Sn2

Tn

=

16(1-p)2

16 3 (1-p2)

=3×

1-p

1+p

=3（-1+

2

1+p

）
當n→+∞時，p→0，

Sn2

Tn

→3，
∴

Sn2

Tn

＜3；
（3）證明：若存在正整數(shù)n和大于4的正整數(shù)m使得等式a_m+1=

Sn+1-m

Sn-m

成立，
則a_m=

Sn+1-m-Sn+m

Sn-m

，∴a_m=

an+1

Sn-m

，S_n-m=

an+1

am

，4（1-（

1

2

）ⁿ）-m=（

1

2

）^n+1-m   
化簡得（4-m）2ⁿ=4+2^m-1，
則等式左邊為負數(shù)，右邊是正數(shù)，矛盾．
∴不存在正整數(shù)n和大于4的正整數(shù)m使得等式a_m+1=

Sn+1-m

Sn-m

成立．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的通項和求和，注意運用an與Sn的關(guān)系式，同時考查反證法的運用，注意推出矛盾，本題屬于中檔題．