Question

6．甲．乙、丙三人準(zhǔn)備在2017年元旦去自駕游，有A、B兩條線路可以選擇，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，選擇線路A，旅行中遇到堵車的概率是$\frac{2}{3}$，不堵車的概率是$\frac{1}{3}$，選擇線路B，旅行中遇到堵車的概率是p，不堵車的概率是1-p，若甲、乙兩人選擇線路A，丙選擇線路B．且三人在旅行中是否堵車互不影響．
（1）若三人中恰有一人遇到堵車的概率是$\frac{5}{18}$，求p的值；
（2）在（1）的條件下，求三人中遇到堵車的人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由三人中恰有一人遇到堵車的概率是$\frac{5}{18}$，得$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×p$+$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×p$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×（1-p）$=$\frac{5}{18}$，由此能求出p．
（2）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）∵擇線路A，旅行中遇到堵車的概率是$\frac{2}{3}$，不堵車的概率是$\frac{1}{3}$，
選擇線路B，旅行中遇到堵車的概率是p，不堵車的概率是1-p，
甲、乙兩人選擇線路A，丙選擇線路B．且三人在旅行中是否堵車互不影響．
三人中恰有一人遇到堵車的概率是$\frac{5}{18}$，
∴$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×p$+$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×p$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×（1-p）$=$\frac{5}{18}$，
解得p=$\frac{1}{2}$．
（2）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{18}$，
P（ξ=1）=$\frac{5}{18}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{8}{18}$，
P（ξ=3）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{4}{18}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{8}{18}$	$\frac{4}{18}$

Eξ=$0×\frac{1}{18}+1×\frac{5}{18}+2×\frac{8}{18}+3×\frac{4}{18}$=$\frac{33}{18}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．