平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A(1，0)、B(0，-2)，點C滿足=α+β，其中α、β∈R，且α-2β=1.

(1)求點C的軌跡方程；

(2)設點C的軌跡與雙曲線=1(a＞0,b＞0)交于兩點M、N，且以MN為直徑的圓過原點，若雙曲線的離心率不大于，求雙曲線實軸長的取值范圍.

解:(1)設C(x，y)，因為=α+β，則(x,y)=α(1,0)+β(0,-2),

即由α-2β=1，得x+y=1，即點C的軌跡方程為x+y=1.

(2)由得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0.

依題意知b2-a2≠0，設M(x1,1-x1)、N(x2?,1-x2),

則x1+x2=,x1x2=.

因為以MN為直徑的圓過原點，所以·=0,

即x1x2+(1-x1)(1-x2)=0，即2x1x2+1-(x1+x2)=0,

得1+=0，得b2=.

∵e≤，∴e2=≤3.

∴1+≤3.

又1-2a2≥0，∴1-2a2≥.

∴0＜a≤.從而0＜2a≤1.

∴雙曲線實軸長的取值范圍是(0，1］.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A（3，1）、B（-1，3），若點C滿足
OC
=α
OA
+β
OB
，其中α、β∈R，且α+β=1，則點C的軌跡方程為（　�。�
A、3x+2y-11=0
B、（x-1）2+（y-2）2=5
C、2x-y=0
D、x+2y-5=0

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精英家教網(wǎng)已知水平地面上有一籃球，在斜平行光線的照射下，其陰影為一橢圓（如圖），在平面直角坐標系中，O為原點，設橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），籃球與地面的接觸點為H，則|OH|=
 
．

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在平面直角坐標系中，O（0，0），P（6，8），將向量
OP
按逆時針旋轉
π
4
后，得向量
OQ
則點Q的坐標是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0）、B（0，-2），點C滿足   
OC
=α
OA
+β
OB
，其中α、β∈R，且α-2β=1
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設點C的軌跡與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)交于兩點M、N，且以MN為直徑的圓過原點，求證：
1
a2
+
1
b2
為定值；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率不大于
2
2
，求橢圓長軸長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2006•海淀區(qū)二模）平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩定點A（1，0）、B（0，-1），動點P（x，y）滿足：
OP
=m
OA
+(m-1)
OB
(m∈R)．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）設點P的軌跡與雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)交于相異兩點M、N．若以MN為直徑的圓經(jīng)過原點，且雙曲線C的離心率等于
3
，求雙曲線C的方程．

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