Question

PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，對人體健康和大氣環(huán)境質(zhì)量的影響很大．我國PM2.5標準采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標．某市環(huán)保局從360天的市區(qū)PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉）．
（1）從這15天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù)，記ξ表示空氣質(zhì)量達到一級的天數(shù)，求ξ的分布列；
（2）以這15天的PM2.5日均值來估計這360天的空氣質(zhì)量情況，則其中大約有多少天的空氣質(zhì)量達到一級．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,莖葉圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由題意知N=15，M=6，n=3，ξ的可能取值為0，1，2，3，其分布列為P（ξ=k）=

C k 6 • C 3-k 9

C 3 15

，（k=0，1，2，3），由此能求出ξ的分布列．
（2）依題意知，一年中每天空氣質(zhì)量達到一級的概率為

2

5

，一年中空氣質(zhì)量達到一級的天數(shù)η～B（360，

2

5

），由此能求出一年中空氣質(zhì)量達到一級的天數(shù)．

解答： 解：（1）由題意知N=15，M=6，n=3，
ξ的可能取值為0，1，2，3，
其分布列為P（ξ=k）=

C k 6 • C 3-k 9

C 3 15

，（k=0，1，2，3）
∴P（ξ=0）=

C 0 6 C 3 9

C 3 15

=

84

455

，
P（ξ=1）=

C 1 6 C 2 9

C 3 15

=

216

455

，
P（ξ=2）=

C 2 6 C 1 9

C 3 15

=

135

455

，
P（ξ=3）=

C 3 6 C 0 9

C 3 15

=

20

455

，
∴ξ的分布列是：

ξ	0	1	2	3
P	84 455	216 455	135 455	20 455

（2）依題意知，一年中每天空氣質(zhì)量達到一級的概率為P=

6

15

=

2

5

，
一年中空氣質(zhì)量達到一級的天數(shù)為η，
則η～B（360，

2

5

），
∴Eη=360×

2

5

=144，
∴一年中空氣質(zhì)量達到一級的天數(shù)為144天．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，認真解答，避免出現(xiàn)計算上的錯誤．