Question

設(shè)m∈R，在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量

a

=（mx，y+1），向量

b

=（x，y-1），

a

⊥

b

，動點(diǎn)M（x，y）的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程，并說明該方程所表示曲線的形狀；
（2）當(dāng)m=

1

4

時，軌跡E與直線y=x-1交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長．

Answer 1

考點(diǎn)：曲線與方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）直接由兩向量的數(shù)量積為0列式求得軌跡E的方程，然后根據(jù)m的范圍說明曲線的形狀；
（2）把m=

1

4

代入軌跡方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式得答案．

解答： 解：（1）∵

a

=（mx，y+1），

b

=（x，y-1），且

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=mx2+y2-1=0，即mx²+y²=1．
當(dāng)m=0時，方程表示兩直線，方程為y=±1；
當(dāng)m=1時，方程表示的是圓x²+y²=1；
當(dāng)m＞0且m≠1時，方程表示的是橢圓；
當(dāng)m＜0時，方程表示的是雙曲線；
（2）當(dāng)m=

1

4

時，橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=x-1 x2 4 +y2=1

，得5x²-8x=0，
解得：x1=0，x2=

8

5

．
∴y1=-1，y2=

3

5

．
∴A（0，-1），B（

8

5

，

3

5

），
則|AB|=

( 8 5 -0)2+( 3 5 +1)2

=

8

5

2

．

點(diǎn)評：本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了軌跡方程的求法，考查了兩點(diǎn)間的距離公式，是中檔題．