已知函數(shù)在處取得極值.
(1)求實數(shù)的值；
(2)若關于的方程在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍；
(3)證明:對任意的正整數(shù),不等式都成立.

(1)  (2)   (3)先證

解析試題分析：(1)                      
時,取得極值,                  
故解得經檢驗符合題意.    
（2）由知 由,得 
令則在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根等價于在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根.     
當時,,于是在上單調遞增; 
當時,,于是在上單調遞減.   
依題意有,
解得,                  
(3) 的定義域為,由(1)知,
令得,或(舍去),  當時, ,單調遞增;
當時, ,單調遞減. 為在上的最大值.                      
,故(當且僅當時,等號成立)
對任意正整數(shù),取得,    
故.     
（方法二）數(shù)學歸納法證明：
當時，左邊，右邊，顯然，不等式成立.
假設時，成立，
則時，有.做差比較：
構建函數(shù)，則，
單調遞減，.
取，
即，亦即，
故

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
(Ⅰ)求曲線在點處的切線方程；
(Ⅱ)直線為曲線的切線，且經過原點，求直線的方程及切點坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知實數(shù)，函數(shù)．
(Ⅰ)若函數(shù)有極大值32，求實數(shù)的值；
(Ⅱ)若對，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

曲線在點處的切線與x軸交點的橫坐標為an．
（1）求an；
（2）設，求數(shù)到的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝lnx－.
(1)當時，判斷f(x)在定義域上的單調性；
(2)若f(x)在[1，e]上的最小值為，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

求由曲線，所圍成的封閉圖形的面積

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）求的極值；
（2）當時，求的值域；
（3）設，函數(shù)，若對于任意，總存在，使得成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設為常數(shù)，已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)．
（1）設為函數(shù)的圖像上任意一點，求點到直線的距離的最小值；
（2）若對任意的且，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題12分）已知f(x)=在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù).
（Ⅰ）求實數(shù)a的值組成的集合A；
（Ⅱ）設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x1、x2.試問：是否存在實數(shù)m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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