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已知0＜x＜
π
2
，求函數f（x）=
(sin2x+2)2
sin2x
的最小值為
 
，相應x的值為
 
．
考點：三角函數的最值
專題：三角函數的求值
分析：由x的范圍可得0＜sin2x≤1，變形可得f（x）=sin2x+
4
sin2x
+4，令sin2x=t，由“對勾函數”y=t+
4
t
的單調性可得．
解答： 解：∵0＜x＜
π
2
，∴0＜2x＜π，∴0＜sin2x≤1，
∴f（x）=
(sin2x+2)2
sin2x
=
sin22x+4sin2x+4
sin2x

=sin2x+
4
sin2x
+4，
令sin2x=t，則y=t+
4
t
在t∈（0，1]單調遞減，
∴當sin2x=t=1時，f（x）=sin2x+
4
sin2x
+4取到最小值9，
此時2x=
π
2
，即x=
π
4

故答案為：9；
π
4
點評：本題考查三角函數的最值，利用函數的單調性是解決問題的關鍵，本題易錯用基本不等式，屬易錯題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

下列各命題正確的是（　�。�
A、終邊相同的角一定相等
B、若α是第四象限的角，則π-α在第三象限
C、若|
a
|=|
b
|，則
a
=
b
D、若α∈（0，π），則sinα＞cosα

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且不等式x2cosC+4sinC+6≥0對一切實數x恒成立．
（Ⅰ）求：角C的最大值；
（Ⅱ）若角C取得最大值，且c=2
3
，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

arcsin
3
2
+arccos(-
1
2
)
arctan(-
3
)
的值等于
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

判斷下列函數的奇偶性
（1）f（x）=lg（
1+x2
-x）；
（2）f（x）=
1
3x-1
+
1
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數y=3-sinx-2cos2x的值域為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A、B、C為△ABC三內角，且sinA=
3
3
（1+cosA）；
（1）求角A；
（2）若
1+sin2B
cos2B-sin2B
=-3，求tanC的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=
1
x-a
在（-∞，-1）上為減函數，則a的取值范圍
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設a=0.3-  
1
3
，b=log2.51.7，c=0.2
1
2
，則（　　）
A、a＞b＞c
B、b＞a＞c
C、a＞c＞b
D、b＞c＞a

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