Question

.設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椋?，+∞），且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x, y，均有

f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0。

   （1）求f(1), f()的值；

   （2）試判斷y=f(x)在（0，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明；

   （3）一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a??_n}滿足f(S_n)=f(a_n)+f(a_n+1)－1，n∈N*，其中S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

   （4）在（3）的條件下，是否存在正數(shù)M，使2ⁿ·a₁·a₂…a_n≥M·.(2a₁－1)·(2a₂－1)…(2a_n－1)對(duì)于一切n∈N*均成立？若存在，求出M的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）f(1)=0f()=－1  （2） 函數(shù)y=f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù) 

（3）數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，從而有a_n=n  

（4）存在   正數(shù)M的范圍是

解析:

1）∵f(2×1)=f(2)+f(1), ∴f(1)=0

   又∵f(1)=f(2×)=f(2)+f(),且f(2)=1，∴f()=－1

（2）設(shè)…4分

∴函數(shù)y=f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù)

（3）∵f(2)=1, ∴由f(S_n)=f(a_n)+f(a_n+1)－1(n∈N*)，得f(2S_n)=f[a_n(a_n+1)]

∵函數(shù)y=f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù)，

∴2S_n=a_n(a_n+1)

∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，從而有a_n=n

（4）∵a_n=n，故不等式

可化為2ⁿ×1×2×3×…×n≥M×1×3×5×…×（2n－1），

即

則是單調(diào)遞增

對(duì)一切n∈N*都成立的正數(shù)M的范圍是