Question

已知橢圓方程為C：

x2

25

+

y2

9

=1．
（1）求以中點(diǎn)為（4，1）的弦所在直線方程；
（2）求斜率為3的直線與橢圓相交所得的弦的中點(diǎn)的軌跡．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)點(diǎn)M（4，1）為中點(diǎn)的弦所在直線與橢圓相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用“點(diǎn)差法”即可得出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可得出．
（2）同（1）類似，設(shè)出這一系列的弦與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法，求斜率，再讓斜率等于3，化簡，即可得斜率為3的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)M（4，1）為中點(diǎn)的弦所在直線與橢圓相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則

x 2 1

25

+

y 2 1

9

=1，

x 2 2

25

+

y 2 2

9

=1，
相減得

(x1+x2)(x1-x2)

25

+

(y1+y2)(y1-y2)

9

=0，
∵

x1+x2

2

=4，

y1+y2

2

=1，∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

36

25

．
∴所求的直線方程為y-1=-

36

25

（x-4），即36x+25y-169=0．
（2）設(shè)斜率為3的平行弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
則根據(jù)中點(diǎn)弦的斜率公式，有-

9x

25y

=3，
∴y=-

3

25

x．
∵由

y=- 3 25 x x2 25 + y2 9 =1

得，x=±

25 26

26

，
∴斜率為3的直線與橢圓相交所得的弦的中點(diǎn)的軌跡是y=-

3

25

x（-

25 26

26

＜x＜

25 26

26

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦的斜率，屬于圓錐曲線的常規(guī)題．